子群的个数对有限群结构的影响

第２１卷第２期　牡丹江大学学报　Ｖ０１．２ｌ　Ｎｏ．２　２０１２年２月　Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　ＵｎｉｖｅｒＳｉｔｙ　Ｆｅｂ．　２０１２　文章编号：１００８—８７１７（２０１２）０２—０１４５・０２　子群的个数对有限群结构的影响　赵永刚　尹玉祥郭继东　（伊犁师范学院数学与统计学院，伊宁８３５０００）　摘要：用子群的个数ｍ对２Ｐ　阶群进行新的刻画．　关键词：生成元；Ｓｙｌｏｗ定理；计数定理；完全分类　中图分类号：Ｏ１５２．１６文献标识码：Ａ　一、预备知识　本文Ｇ恒为有限群，ｌＧｌ表示Ｇ的阶，　（Ｇ）表示Ｇ的阶的素因子集合，ｍ表示Ｇ的所有子群的　个数，ｒｎ　表示ｆ阶子群的个数，Ｐ表示Ｇ的Ｓｙｌｏｗ　ｐ－子群．　各阶子群的个数对有限群具有十分重要的数量特征，无论是从已知大群来计算它的各阶子群个数，　还是利用各阶子群个数的数量特征来确定大群的结构和性质．不少群论工作者对此有很多的研究，如　Ｇ．Ａ．Ｍｉｌｌｅｒ给出了所有真子群个数为１Ｏ或１　１的有限群，并给出了交换子群的个数的计算方法．也有人用　极大子群的个数、最高阶元的个数研究有限群的结构，本文对有限群子群的个数进行考察，得到了２Ｐ　阶　群可以由ｍ唯一确定．　下面是几个引理：　引理１　设Ｐ，ｑ是素数，且Ｐ＜ｑ，则ｐｇ阶群有唯一的ｇ阶子群．　引理２　ｊ设Ｇ：＜ａ＞，且ｌＧｌ＝　，对ｍｌｎ存在唯一ｍ阶子群．　引理３　设Ｇ是Ｐ　阶初等交换Ｐ群，则Ｇ的Ｐ　（１　ｍ　ｒ／）阶子群的个数为：　（ｐ”一１）（ｐ　～一１）…（Ｐ　一　“一１）　（Ｐ　一１）（ｐ　～一１）…（ｐ一１）　引理４　。　设ＩＧＩ＝２ｐ　，Ｐ是奇素数，则Ｇ同构于下列群之一：　（１）Ｇ＝＜ａ＞，ａ　ｐ。：１．　（２）Ｇ＝＜ａ＞×＜ｂ＞×＜Ｃ＞，ａｐ＝ｂＰ＝Ｃ　＝１，【口，ｂ］＝【６，Ｃ］＝［ｃ，ａ］＝１．　（３）Ｇ＝＜ａ，ｂ＞，ａｐ‘＝ｂ　＝１　６～　６：ａ一．　（４）Ｇ＝＜口，ｂ，Ｃ＞，ａ　＝ｂｐ＝Ｃ。＝［　，ｂ］＝１，Ｃ～ａｃ＝ａ－ｌ＇ｃ～ｂｃ＝ｂ一．　（５）Ｇ＝＜　，ｂ，Ｃ＞，ａｐ＝ｂ　ｐ＝Ｃ　＝［　，ｂ】＝１，Ｃ＿。ａｔ７＝口，ｃ＿。ｂｃ＝ｂ一．　引理５　设｝Ｇ　Ｊ＝２ｐ，Ｐ为奇素数，则Ｇ同构于下列群之一：　（１）Ｇ＝Ｚ２ｐ　（２）Ｇ＝＜ａ，ｂ＞，ａｐ＝ｂ　：１，ｂ～ａｂ：ａ～．　二、定理及证明　．　定理￣Ｓ．ｔＩＧｌ＝２ｐ　，Ｐ是奇素数，则Ｇ由　唯一确定．　证明由引理４知，Ｇ有５种情况．　收稿日期：２０１１－１０．２６　基金项目：维吾尔自治区自然科学基金项目（２０１０２１ＩＡ３８）；伊犁师范学院２０１１年大学生课题０９　作者简介：赵永刚（１９８２一），汉族，甘肃天水人，伊犁师范学院在读硕士，研究方向：代数学。　ｌ４５　当Ｇ为情形（１）时，Ｇ为２ｐ。阶循环群，由引理２知，　ｌ＝　２＝　ｐ＝ｍＩ＋，　２＋　ｐ＋ｍ２ｐ＋　ｐ２＋　２ｐ２＝６．　：　２Ｐ＝　ｐ：＝　２ｐ：＝１，故　当Ｇ为情形（２）时，由定义关系知Ｇ＝　×Ｃｐ×Ｃ２，由引理３知，Ｃｐ×Ｃ中子群的个数为Ｐ＋１，　ｐ＋　＋　ｐ故　ｐ　Ｐ＋ｌ，ｍ２ｐ　Ｐ＋１，所以Ｇ中所有子群的个数为：　＝＋ｍ２＋　Ｐ：＋　Ｐｐ：　１＋１＋（Ｐ＋１）＋（Ｐ＋１）＋１＋１＝２ｐ＋６．　当Ｇ为情形（３）时，　Ａ＝＜ａ＞，由Ｓｙｌｏｗ定理，　＝正规于Ｇ，所以Ｇ：Ａ＋Ａｂ，　，　｛１，　，　…ａｐＺ＿１），　Ａｂ＝｛６，ａｂ，　６…ａｐ２－１６｝，　又ｂ－１ａｂ＝　＿。，　所以　６＝６口一　６）　＝口　ｂａ　ｂ＝ａｉｂｂａ＿。＝１，故　６中的元都是２阶元，即Ｇ有ｐ。个２阶元，因此　２＝Ｐ　．由　Ｓｙｌｏｗ￣，　ｐ三１ｒｏｏｄ（ｐ），故　ｐ　１．ｐ阶元只能在　中，故　２ｐ＝ｐ　’　２ｐ２＝ｌ，故Ｇ中所有子群的个数为：　＝Ｐ　＋ｐ＋４．　＝　，　ｌ＝ｌ，　＝　ｌ＋ｍ２＋　ｐ＋　２ｐ＋　ｐ２＋　２ｐ２＝ｌ＋ｐ　＋１＋　＋ｌ＋１　当Ｇ为情形（４）时，令Ａ＝＜ａ＞×＜ｂ＞，则Ｇ＝　＋Ａｃ，Ａ：　ｂ　ｌｉ，　＝０，１…Ｐ—１），　Ａｃ＝｛　ｂ　ｃｌｉ，Ｊ＝０，１…Ｐ一１），　Ｃ－Ｉ　ｃ＝　，ｃ－ａｂ　ｃ＝ｂ一　，　（ａｉｂ　ｃ）２＝ａｉｂ，Ｃ（１　ｂ　ｃ＝口　ｃｃ＿１ｂ　ｃａ　ｃｃ～ｂＪｃ＝ａｉｃｂ—Ｉ’ａ　ｃｂ一　＝ａ　ｃ　Ｃ一　ｂ一　ａ　ｃｂ一　：口　ｃ　（６一　ａ　）一　６一，＝　口一　ｂｉｂ一　＝ｌ，故Ａｃ中元都是２　阶元，又２阶群是循环群，且是由２元生成的群，故ｍ２＝Ｐ　．因为Ａ＝Ｃｐ　Ｘ　Ｃ　，由引理３知　ｐ＝ｐ＋１．Ｙ．Ｇ＝Ｃｐ×ｃｐ×Ｃ２，故２ｐ阶元只能在ｃｐ×　中，所以　，＝（　＋１）‘　故Ｇ中所有子群的个数为：　＝ｐ　＋ｐ　＝　ｌ＋　２＋　ｐ＋　２ｐ＋　Ｐｚ＋　２ｐｚ＝１＋Ｐ　＋（Ｐ＋１）　＋（Ｐ　＋Ｐ）＋１＋１＝２ｐ　＋２ｐ＋４．　当Ｇ为情形（５）时，Ｇ＝Ｃｐ×Ｃｐ×Ｃ２令Ａ＝＜ａ＞×＜ｂ＞，则Ｇ＝Ａ＋Ａｃ，由引理３知，　中　Ｐ阶子群个数为，，ｚ　＝Ｐ＋ｌ，　＝　ｂ　Ｉｉ，Ｊ＝０，１…Ｐ一１），Ａｃ＝｛　ｂ　ｃｉ，Ｊ＝０，１…Ｐ一１），因为　ｃ—ｂｃ：ｂ一，所以（ｂ　ｅｃ）　＝ｂ　ｅｃｂ　Ｃ＝ｃｂ一川ｂ　Ｃ＝１，ｉ＝１，２…Ｐ一１，又ｃ—ａＣ＝ａ，则ｃ－１ａ　ｃ＝ａ　，　（ａｉｃ）　＝ａｉｃａ　ｃ＝ａ　，　１，２…Ｐ一１，（ａｉｃ）。，＝ａｉｃ・ａｉｃ…ａ　ｒ‘ｃ＝（ａｐ）　（ｃ　）　＝ｌ，　／　６ｃ）　＝ａｉｂｃａ　ｂｃ＝ａ　，同理（口　ｂｃ）　ｐ＝１，故Ｇ中２阶元有Ｐ个，即ｍ２＝Ｐ．又ＣＰ×Ｃ２中有　一２ｐ阶子群，故ｍ２Ｐ＝（Ｐ＋１）・　＝Ｐ＋１．故Ｇ中所有子群的个数为：ｍ＝ｍｌ＋ｍ２＋ｍｐ＋ｍ２ｐ＋　ｍ　：＋ｍ，　：＝１＋Ｐ＋（　＋１）＋（Ｐ＋１）＋１＋ｌ＝３ｐ＋５．　综上所述，Ｇ的子群个数为６，２ｐ＋６，Ｐ　＋Ｐ＋４，２ｐ　＋２ｐ＋４，３ｐ＋５．　若２ｐ＋６＝ｐ　＋Ｐ＋４，解得Ｐ＝２或ｐ＝一１，这与Ｐ是奇素数矛盾，故２ｐ＋６≠　Ｐ　＋Ｐ＋４；若２　＋６＝２　＋２ｐ＋４，解得Ｐ＝ｌ，这与Ｐ是奇素数矛盾，故　２　＋６≠２ｐ　＋２ｐ＋４；若２ｐ＋６．＝３ｐ＋５，解得Ｐ＝１，这与Ｐ是奇素数矛盾，故　２ｐ＋６≠３　＋５；若Ｐ　＋Ｐ＋４＝２ｐ　＋２ｐ＋４，解得Ｐ＝０或一１，这与Ｐ是奇素数矛盾，故　Ｐ　＋Ｐ＋４≠２ｐ　＋２　＋４；若ｐ　＋Ｐ＋４＝３ｐ＋５，解得　不是整数，故ｐ　＋Ｐ＋４≠３ｐ＋５；　若２ｐ　＋２　＋４＝３ｐ＋５，　解得Ｐ不是整数，　故２ｐ　＋２ｐ＋４≠３ｐ＋５．　所以　６≠２ｐ＋６≠Ｐ　＋Ｐ＋４≠２ｐ　＋２　＋４≠３　＋５．　即Ｇ由ｍ唯一确定．　计算有限群的各阶子群个数这方面的课题主要体现在　一群的计数定理、刻画有限（下转１　４９页）　１４６　　ｒ一——　。一　一　　ｉ图６电动汽车转速响应　。　一一…．一＿ｌ～一一　ｌｌ＿　Ｉ　～＿＿＿＿ｌ＿＿：一：＿¨＿－一：＿　Ｆｉｇ．６　Ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｓｐｅｅｄ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　．种　一　一一ｒ　一一一　’　：　四、结语　Ⅻ　ｒ　一　～　‘　一一一　。　常规ＰＩ控制系统较难满足电动汽车复杂多变　唁　ｏ　—面……　一一　～…　貉　月‘引　的动态响应要求，通过引入模糊控制能够提高调速　图４电动汽车转速响应　系统动态响应及稳态运行指标。模糊控制与ＰＩ控　Ｆｉｇ．４　Ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｓｐｅｅｄ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　制的结合有两种模式，本文重点研究采用复合控制　（二）模糊ＰＩ控制仿真　结构的模糊ＰＩ控制系统。通过仿真分析，引入模　为了提高常规ＰＩ控制器性能，引入模糊控制，　糊控制后提高了电动汽车调速系统的动态性能及　考虑到电动汽车各种运行状况情况复杂，模糊控制　稳态精度，改善了调速系统的品质。较常规ＰＩ控　规则需要反复调试。本文重点以复合模糊ＰＩ控制　制系统，电动汽车的转速跟踪情况更加快速平稳可　系统作为仿真对象，分析与常规ＰＩ控制的不同。　靠。　仿真模型如图５所示。　参考文献：　［１］温旭辉．电动汽车电动机驱动技术及其发展［Ｊ］．　电气时代，２０１０，（９）：５８—６０．　［２】邴黎明．电动汽车永磁同步电动机控制策略研究　ｆＤ］．武汉：湖北工业大学，２００９．　［３］阮毅，陈伯时．电力拖动自动控制系统［Ｍ］．北京：　图５复合模糊控制系统仿真模型　机械工业出版社，２００９，（８）：１５５—１６９．　Ｆｉｇ．５　Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｕｚｚｙ　［４１杨大柱．基于ＭＡＴＬＡＢ的电动汽车闲环调速系　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｓｙｓｔｅｍ　在阶跃干扰信号作用下，调节复合控制输出量　统仿真［Ｊ］．现代机械，２００８，（５）：１７—１９．　加权的两个参数岛、乜，能够权衡模糊控制和常规　［５】龙洪宇，程小华．永磁同步电动机控制策略综述　ＰＩ控制的比重，根据实际运行情况能够进行动态　［Ｊ】．防爆电机，２０１０，（６）：１—３．　调整。ＰＭＳＭ的转速响应速度如图６所示，从图中　［６］许伍洲．电动汽车交流调速系统控制策略研究［Ｊ］．　可看出复合控制较常规ＰＩ控制时转速响应速度更　中国汽车制造，２００６，（１２）：１０　１３．　快，转速跟踪时间更短，并且更加平稳。　［７］张志远，万沛霖．一种用于电动车辆驱动控制的　模糊控制系统设计【Ｊ］．电机与控制学报，２００５，（５）：　蝴一——～——…～一———ｒ…——一一－＿————一一一　一　一一一一一～～…～…一一　２０３—２０６．　∞Ｄ　一　一　…一ｒ～　一　［８］赵轩，马建，汪贵平等．基于模糊ＰＩ控制的纯电动　汽车驱动系统建模和仿真［Ｊ］．科技导报，２０１０，２８　（１５）：８３—８７．　０垃０ｍ　ｏｏｌ　０埔　Ｏ墙　运行时目（社　（上接１　４６页）群的结构和性质．例如极大子群的个数和极小子群的个数等等．见文献【４～５】，文献［６】中　通过计算子群的个数，得出了２　，４　，３ｐ　阶群由子群的个数唯一确定，本文继这一工作，得到了２　阶　群由子群的个数唯一确定的结果．　参考文献：　［１］Ｈ．Ｋｕｒｚｗｅｉｌ，Ｂ．Ｓｔｅｌｌｍａｃｈｅｒ，Ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆＦｉｎｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒｖｅｒｌａｇ，２００４．　［２】徐明曜．有限群导引（上册）（第二版）［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７．　［３］张远达．有限群构造（上、下册）Ｏｖｔ］．北京：科学出版社，１９８２．　［４］Ｙ－．ｉ中．极大子群个数小于５的有限群［Ｊ】．首都师范大学学报，２０００，（０５）：１０—１３．　［５］钟祥贵，王素珍．仅有三个非正规子群的有限群［Ｊ］．邵阳学院学报，２００７，（４）：５—６．　［６］孙晓寒．有限群子群的阶．个数对群的影响［Ｄ】．苏州大学，２００９．　［７］孙自行，崔方达．４次对称群Ｓ４的子群个数及其证明［Ｊ］．阜阳师范学院学报，２００５，２２（４）：１３—１６．　［８】沈如林．元素的阶与幂零群的刻画［Ｊ］．湖北民族学院学报，２００９，２７（３）：２９０—２９２．　【９］Ｒｕｌｉｎ　Ｓｈｅｎ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ　ｈａｖｉｎｇ　ｐｅｒｆｅｃｔ　ｏｒｄｅｒ　ｓｕｂｓｅｔｓ［　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｌｇｅｂｒａ，２０１０，（４）：６２９－６３７．　１４９