高中数学-学生-对数及其运算

初中/高中数学教师 备课组 日期 上课时间 学生情况： -------- -------- -------- 班级 学生 主课题：对数的概念及运算 教学目标：1.了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系． 2. 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算． 3. 能根据概念进行指数与对数之间的互化 教学重点：1.通过指数引入对数的概念，使学生理解和掌握对数的概念 2.通过指数的运算性质导出对数的运算性质，使学生掌握对数的积、商、幂的运算性质 3. 让学生经历对数换底公式的推导过程，掌握用换底公式进行化简和验证的方法 教学难点：利用对数运算的基本性质和换底公式进行计算和化简 考点及考试要求：1.掌握对数的积、商、幂的运算性质 2. 掌握对数的换底公式及其推论，并能结合其运算性质进行计算、化简

教学内容 一． 新课讲解 1.对数的概念 先看一个实例 假设银行年利率为3%，把本金a万元存入银行，那么经过多少年后本利和是原来本金的2倍？ x 经过x年后，本利和为a(13%)2a，即1.032 x这是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是本次课要学习的对数问题 一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数（有定义得恒等式a 例如，由216，得以2为底16的对数为4，记作log2164 思考：有对数的定义，那些数才有对数？loga1?logaa? 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记为lgN 将以无理数e2.71828...为底的对数叫做自然对数，logeN简记为lnN 知识点一：对数式与指数式互化 例1 将下列对数式与指数式互化 （1）5625 （2）()5.73 （3）lg0.012 （4）ln102.303 （通过上面的例子，你能得出什么结论？） 例2 求下列各式中的x的值 （1）log3x 44logaNbN） 13m32 （2）log2[log3(log4x)]0 （3）log(2x21)(3x2x1)1 4

2. 对数的运算性质 用计算器完成下列表格，你能发现什么规律？ M 2010 2.36 N 1949 10. lgMN lgM N lgMlgN lgMlgN 3 56 11 813 从上面的例子可以看到， lgMNlgMlgN，lgMlgMlgN N一般地，对数有下面的运算性质： 如果a0，a1，M>0，N>0，那么 （1）loga(MN)logaMlogaN； （2）loga(M)logaMlogaN Nn（3）logaMnlogaM 下面证明性质（1）、（3）： pqpq性质（1）设logaMp,logaNq，由对数定义，得Ma,Na，MN=a logaMNpq=logaM+logaN pnnp性质（3）设logaMp，由对数定义得Ma，Ma， n 所以 logaMnp=nlogaM 仿照性质（1）证明性质（2） 知识点二：利用对数的运算性质进行对数式的求值 例3 计算： （1）log927 （2）log23(23) （3）log3 54625

例4 计算下列各式的值： （1）lg25lg2•lg50lg2 （2）lg2lg53lg2lg5 例5 已知ab0，用log2a,log2b,log2c,log2(ab),log2(ab)表示下列各式 233acbca3a2ablog)（1）log24abc （2）log223 （3）log2( （4） 2a22abb28bcabb223 3. 换底公式 利用计算器求log1.0 其实也可以这样计算：令log1.0= x，则1.064，两边同取对数，得 xlg1.06lg4，xxlg423.7913 lg1.06logaN（其中a0,a1,b0,b1,N0） logab一般地，有下面的换底公式：logbNx证明如下：设logbNx，写成指数式bN，两边同取以a为底的对数，得 xlogablogaN，因为b0,b1,logab0，故两边同除以logab， x=logaNlogaN， 即logbN logablogab1mm （2）loganblogab logban例6 利用换底公式证明：（1）logab

知识点三：对数运算性质的应用 例7 （1）已知log182a，试用a表示log32 （2）若lg2a,lg3b，用a、b表示log512 例8 设a,b,cR，且346，试写出a,b,c的关系式 例9 求值（1）(log23log)(log34log98log32) abc （2）log52•log79log2(3535) 1log5•log7343 【能力提高】 1. 对于a0,a1，在下列说法中，正确的是（ ） ① 若M=N，则logaMlogaN ② 若logaMlogaN，则M=N 2222② 若logaMlogaN，则M=N ④ 若M=N，则logaMlogaN A ①③ B ② C ①② D ②③④ 2. 已知xtx1y1t1，yt1xtt1（t0,t1），则x、y之间的关系是（ ） xyyxA yx B yx C yx D yx y

3. 已知123,122，求8 4. 已知xa 11logayxy12x1xy的值 ,ya11logaz，其中a0,a1，求证：za11logax 5. 已知集合M{x,xy,lg(xy)},N{0,x,y}，满足M=N，求实数x、y的值 226. 已知loga(x1)loga(y4)loga8logaxlogay(a0,a1)，求log8(xy)的值 27. 设logac,logbc是方程x3x10的两根，求logac的值 b 8. 生命体死亡后，体内放射性碳C不断衰变，经10年后，其残存量a’与原始量a之间满足关系式aa•e ,kt14，其中k是常数，已知C的半衰期为5570年. 某地1997年出土一14批古莲子，测得它的a’与a的比为87.9%，这批古莲子大约是多少年前的遗物？

lgxlgylgxlgy[lg(xy)]20，求x、y及log2(xy)的值 9. 若lgxlgylgx•lgy 10. 已知x,y,z0，且lgxlgylgz0，求x 11lgylgz•y11lgzlgx•z11lgxlgy的值 【自我测试】 一、填空题 1. 计算：log5125=________ 2. 计算：lg25lg2lg50(lg2)=_________ 3. 计算：22log472=_________ 24. 计算：lg4lg92lg6lg361=________ 5. 计算：log34•log45•log56...log8081=________ 6. 已知loga,log52b，用a,b表示lg6=______ 7. 设x3,y0,2log3(x3y)log3(3xy)log3y，则8. 计算：logx的值为______ y21(322)=_______ 4log4log231=__________ 9. 化简log4310. 化简log431lg(2x2x21)lg(x1x1)=_________ 212二、选择 11. 已知log7[log3(log2x)]0，那么xA 等于 （ ） 3231 B C D 6943

12. 如果方程lgx(lg5lg7)lgxlg5•lg70的两根是,，则•= （ ） A lg5•lg7 B lg35 C 35 D 21 3513. 若loga3logb30，则 （ ） A 0b>1 D b>a>1 14. 已知xy1,x0,y0，且loga(1x)m,logaA m+n B m-n C 三、解答题 15. 求lg142lg 216. 求(log63)log618•log62的值 221n，则 logay=（ ） 1x11(mn) D (mn) 227lg7lg18的值 3 17. 设2lg(x4y)lg2xlgy，求log4 18. 已知a,b,c是△ABC的三边，关于x的二次方程x2xlg(cb)2lga10有等根，判断△ABC的形状

222x的值 y