一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
2．将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（ ） A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4）
3．已知x，y的取值如下表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为A．
B．
C．
D．
，则b=（ ）
4．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是（ ） A．① B．②④ C．③ D．①③
5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
*2
6．当m∈N，命题“若m＞0，则方程x+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（ ）
2
A．若方程x+x﹣m=0有实根，则m＞0
1
B．若方程x+x﹣m=0有实根，则m≤0
2
C．若方程x+x﹣m=0没有实根，则m＞0
2
D．若方程x+x﹣m=0没有实根，则m≤0
2
7．抛物线y=ax（a＜0）的准线方程是（ ） A．y=﹣
B．y=﹣
C．y=
D．y=
2
8．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22
9．“a+b≠0”的含义为（ ） A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0 C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
10．已知P是椭圆
+
=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的
半径为，则tan∠F1PF2=（ ） A．
11．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若则（x，y，z）为（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
2222
12．设直线l与抛物线y=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）+y=r（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
2
13．若命题p：∃x∈R，x+x﹣1≥0，则￢p： ．
14．在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE内部的概率是 ．
=x
+y
+z
，
B．
C．
D．
2
15．在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是 ． 16．双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴
的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 （1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
2
19．给定直线m：y=2x﹣16，抛物线：y=2px（p＞0）． （1）当抛物线的焦点在直线m上时，确定抛物线的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的方程．
20．设函数y=lg（﹣x+4x﹣3）的定义域为A，函数y=
2
，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
3
21．设椭圆
的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分
别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5． （1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为
，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆
C相切，求椭圆方程．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t （1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系； （2）在（1）的条件下求a的取值范围； （3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．
4
2015-2016学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 【考点】收集数据的方法． 【专题】应用题；概率与统计．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
2．将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（ ） A．120（4） B．130（4） C．200（4） D．202（4） 【考点】进位制．
【专题】计算题；算法和程序框图．
【分析】先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的28化为四进制，即可得到结论．
432
【解答】解：先将“二进制”数11100（2）化为十进制数为1×2+1×2+1×2=28（10） 然后将十进制的28化为四进制： 28÷4=7余0， 7÷4=1余3， 1÷4=0余1
所以，结果是130（4） 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二进制、十进制与四进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．
3．已知x，y的取值如下表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为A．
B．
C．
D．
，则b=（ ）
【考点】线性回归方程． 【专题】计算题．
【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果．
5
【解答】解：∵线性回归方程为又∵线性回归方程过样本中心点，
，
∴回归方程过点（3，5） ∴5=3b+∴b=﹣
，
，
故选A．
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点满足回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题，这种题目一旦出现是一个必得分题目．
4．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是（ ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．
【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选：C
【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．
5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【考点】循环结构．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得 s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s= 满足条件k＜8，k=4，s=+ 满足条件k＜8，k=6，s=++ 满足条件k＜8，k=8，s=+++=
．
不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
*2
6．当m∈N，命题“若m＞0，则方程x+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（ ）
2
A．若方程x+x﹣m=0有实根，则m＞0
2
B．若方程x+x﹣m=0有实根，则m≤0
2
C．若方程x+x﹣m=0没有实根，则m＞0
2
D．若方程x+x﹣m=0没有实根，则m≤0 【考点】四种命题间的逆否关系． 【专题】简易逻辑．
【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．
7
【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N，命题“若m＞0，则方程x+x﹣m=0有实根”
2
的逆否命题是：若方程x+x﹣m=0没有实根，则m≤0． 故选：D．
【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
2
7．抛物线y=ax（a＜0）的准线方程是（ ） A．y=﹣
B．y=﹣
C．y=
D．y=
*2
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
2
【分析】抛物线y=ax（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程． 【解答】解：抛物线y=ax（a＜0）可化为
2
，准线方程为．
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．
8．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β； ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选B．
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
22
9．“a+b≠0”的含义为（ ） A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0 C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0 【考点】逻辑联结词“或”． 【专题】阅读型；探究型．
22
【分析】对a+b≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．
22
【解答】解：a+b≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；
22
A中a和b都不为0，是a+b≠0充分不必要条件；
B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对； D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；
8
故选C 【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．
10．已知P是椭圆
+
=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的
半径为，则tan∠F1PF2=（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】作出图形，利用内切圆的性质与椭圆的定义及半角公式即可求得tan∠F1PF2的值． 【解答】解：根据题意作图如下，设△PF1F2的内切圆心为M，则内切圆的半径|MQ|=，设圆M与x轴相切于R，
∵椭圆的方程为
+
=1，
∴椭圆的两个焦点F1（﹣1，0），F2（1，0）， ∴|F1F2|=2，设|F1R|=x，则|F2R|=2﹣x，
依题意得，|F1S|=|F1R|=x，|F2Q|=|F2R|=2﹣x， 设|PS|=|PQ|=y，
∵|PF1|=x+y，|PF2|=（2﹣x）+y，|PF1|+|PF2|=4， ∴x+y+（2﹣x）+y=4，
∴y=1，即|PQ|=1，又|MQ|=，MQ⊥PQ，
∴tan∠MPQ===，
9
∴tan∠F1PF2=tan2∠MPQ==．
故选B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查内切圆的性质及半角公式，考查分析问题，通过转化思想解决问题的能力，属于难题．
11．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若则（x，y，z）为（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，） 【考点】空间向量的加减法． 【专题】计算题；待定系数法． 【分析】由题意推出正确选项． 【解答】解：∵==而
+• [（+=x
++y
=+
=（）]=
+
）
﹣
）+（
﹣
）]
，使得它用
，
，
，来表示，从而求出x，y，z的值，得到
=x
+y
+z
，
+ [（
， +z
，∴x=，y=，z=．
故选A．
【点评】本题考查空间向量的加减法，考查待定系数法，是基础题．
2222
12．设直线l与抛物线y=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）+y=r（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
22
斜率存在时，设斜率为k，则y1=4x1，y2=4x2， 则
，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以
=﹣，所以x0=3，
10
即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y=4x，得y=12，∴∵M在圆上，∴
2
2
2
，
，∴r=
2
，
∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r＜16， 故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
22
13．若命题p：∃x∈R，x+x﹣1≥0，则￢p： ∀x∈R，x+x﹣1＜0 ． 【考点】特称命题． 【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全程命题，写出命题p的否定￢p即可． 【解答】解：根据特称命题的否定是全程命题，得
2
命题p：∃x∈R，x+x﹣1≥0，
2
的否定是￢p：∀x∈R，x+x﹣1＜0．
2
故答案为：∀x∈R，x+x﹣1＜0．
【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．
14．在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE内部的概率是
．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；概率与统计． 【分析】设正方形的边长为1，求出S△ABE=
=，S正方形ABCD=1，即可求出点Q落在△ABE
内部的概率．
【解答】解：由几何概型的计算方法，设正方形的边长为1，则 S△ABE=
=，S正方形ABCD=1
∴所求事件的概率为P=． 故答案为：．
11
【点评】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
15．在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是 （0，4，0） ． 【考点】空间两点间的距离公式． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标． 【解答】解：设M（0，y，0）
2222
由题意得4+（3﹣y）+4=4+（5﹣y）+4 解得得y=4
故M（0，4，0） 故答案为：（0，4，0）． 【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题． 16．双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴
的直线与双曲线相交于A、B两点，若【考点】双曲线的简单性质． 【分析】因为
，则双曲线的离心率为 ．
，所以AF1与BF1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF1B
是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率．
【解答】解：根据题意，得右焦点F2的坐标为（c，0） 联解x=c与
，得A（c，
），B（c，﹣
）
∵
∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△ 由此可得：|AB|=2|F1F2|，即
=2×2c
∴
=2c，可得c﹣2ac﹣a=0，两边都除以a，得e﹣2e﹣1=0
12
2222
解之得：e=（舍负） 故答案为：
【点评】本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 （1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图； （2）计算甲与乙的平均数与方差，即可求得结论． 【解答】解：（1）茎叶图如下：
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
（90﹣85）+（92﹣85）+（95﹣85）]=41 ∵
=
，
，
222
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适
【点评】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
13
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）根据频率直方图的性质求第四小组的频率．（2）利用样本进行总体估计．（3）根据古典概型的概率公式求概率． 【解答】解：（1）第一小组的频率为0.010×10=0.1，第二小组的频率为0.015×10=0.15，第三小组的频率为0.015×10=0.15，第五小组的频率为0.025×10=0.25，第六小组的频率为0.005×10=0.05，所以第四小组的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3． 频率/组距=0.3÷10=0.03，故频率分布直方图如图
（2）平均分超过60分的频率为0.15+0.25+0.05+0.3=0.75，所以估计这次考试的及格率为75%．
第一组人数0.10×60=6，第二组人数0.15×60=9，第三组人数0.15×60=9，第四组人数0.3×60=18，第五组人数0.25×60=15，第六组人数0.05×60=3， 所以平均分为
=71．
，他们在同
（3）成绩在[40，50）的有6人，在[90，100]的有3人，从中选两人有一分数段的有
所以他们在同一分数段的概率是
，
．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查学生分析问题的能力，比较综合．
2
19．给定直线m：y=2x﹣16，抛物线：y=2px（p＞0）． （1）当抛物线的焦点在直线m上时，确定抛物线的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的方程．
14
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由抛物线解析式表示出抛物线焦点坐标，代入直线m方程求出p的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）把A纵坐标代入抛物线解析式确定出横坐标，进而确定出A坐标，根据F为△ABC重心坐标，列出关系式，将A坐标代入整理得到B与C横纵坐标关系，再将B与C代入抛物线解析式，整理求出直线BC斜率，再利用中点坐标公式求出BC中点坐标，即可确定出直线BC解析式．
【解答】解：（1）抛物线：y=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0）， 代入直线m得：p﹣16=0，即p=16，
2
则抛物线解析式为y=32x；
（2）把y=8代入抛物线解析式得：x=2，即A（2，8）， ∵F（8，0）为△ABC的重心，
2
∴，
整理得：，
由，整理得（yB+yC）（yB﹣yC）=32（xB﹣xC），即==﹣4=kBC，
∵BC的中点坐标为（11，﹣4），
∴BC的直线方程为y+4=﹣4（x﹣11），即4x+y﹣40=0．
【点评】此题考查了抛物线的简单性质，直线的斜率，中点坐标公式，以及直线的点斜式方程，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．
20．设函数y=lg（﹣x+4x﹣3）的定义域为A，函数y=
2
，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域． 【专题】简易逻辑．
【分析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（
，2），取交集即可；（2）根据：“x∈A”
是“x∈B”的必要不充分条件，得不等式解出即可．
2
【解答】解：（1）由﹣x+4x﹣3＞0，解得：1＜x＜3，∴A=（1，3）， 又函数y=∴y∈（
在区间（0，m）上单调递减， ，2），即B=（
，2），
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当m=2时，B=（，2），∴A∩B=（1，2）； （2）首先要求m＞0，
而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， ∴B⊊A，即（从而
，2）⊊（1，3），
≥1，解得：0＜m≤1．
【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
21．设椭圆
的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分
别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5． （1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为
，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆
C相切，求椭圆方程．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设出P，Q，F坐标，利用椭圆方程，即可求椭圆的离心率；
（2）利用直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为
，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F
以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入
三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．
【解答】解：（1）设点Q（x0，0），F（﹣c，0），P（x，y），其中由AP：PQ=8：5，得即
，
，得
，…（2分）
，A（0，b）．
点P在椭圆上，∴而∴∴
由①②知2b=3ac，
22
∴2c+3ac﹣2a=0．
2
∴2e+3e﹣2=0，
2
．①…（4分） ，
．
．②…（6分）
16
∴． …（8分）
，即
，
（2）由题意，得直线l的方程
满足条件的圆心为，
又a=2c，∴，∴O′（c，0）． …（10分）
圆半径由圆与直线l：又a=2c，∴∴椭圆方程为
． …（12分）
相切得，．
． …（16分）
，…（14分）
【点评】本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程
的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t （1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系； （2）在（1）的条件下求a的取值范围； （3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法． 【专题】空间角． 【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的关系； （2）利用（1）的结论结合基本不等式求a的范围；
（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD． 过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角，结合直角三角形的余弦求之． 【解答】解：（1）如图，连接AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ． 设，则CQ=a﹣t，
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在直角三角形MBQ中中，有AQ=在Rt△CDQ中，有DQ=
在Rt△ADQ中，有AQ+DQ=AD．
222
即t+4+（a﹣t）+4=a，
2
即t﹣at+4=0．
（2）由（1）得a=t+≥4．
2
2
2
．
． …（4分）
故a的取值范围为[4，+∞）．
（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD． 过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD． ∴∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角．
在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，进而NQ=．
∴cos∠MNQ=
．
．
故二面角A﹣PD﹣Q的余弦值为
【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，关键在正确找出平面角，属于中档题．
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