第1章作业(2)答案doc

第1章 复数与复变函数 (作业2)

一、选择题

1. 设P0为平面上的光滑曲线C上的一点。在点P0处曲线的单位切向量为Z，则在P0处曲线C的单位法向量为（ D ）。

z2(A) ze (B) eii21i2 (C) z (D) ze

2. 满足方程

arg(zi)6的z所表示的复数点集为（ C ）。

(A) 过（-1，0）点且与x轴交角为6的半射线

(B) 过原点（0，0）且与x轴交角为6的半射线

(C)

过i点且与x轴交角为6的半射线 (不包括起点i )

(D) 过-i点且与x轴交角为6的半射线

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二、计算与证明题

1、将下列坐标变换公式写成复数的形式：

xx1a1xx1cosy1sinyyb11（1）平移公式 （2）旋转公式yx1siny1cos

xx1a1解：（1）平移公式yy1b1，

zxiy(x1a1)(y1b1)i(x1iy1)(a1ib1)z1A,其中Aa1ib1

xx1cosy1sin（2）旋转公式yx1siny1cos，设zxiy,z1x1iy1，则

z(x1cosy1sin)i(x1siny1cos)cos(x1iy1)(y1ix1)sin

i(cos)zi(sin)zze111

2、一个复数乘以i，它的模与幅角有何改变？

2解：ie，所以一个复数乘以i，它的模不变；幅角减少2.

i第1章 (作业2) 第 2 页

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13Argi22 3、求

解 由tan3,得

arctan33或

23,舍去3即得:

1322kk为整数Argi22 311n2cosntz2isinntnnzz （2）；

4、如果ze证明： （1）

itzn解：由ze得到，zcostisint.

it（1）

zn11cosntisinntcosntisinntcosntisinnt2cosntncosntisinntz

（2）

zn11cosntisinntcosntisinntcosntisinnt2isinntnzcosntisinnt

nn1i1i5、若试求n的值。

解：由1innn2cosisinn1i得到，44n2nnisin22cos44n.即

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sinnnsin,44nn2k,n4k,k为整数.44

36、 求方程z80的所有的根。

2k2kz2cosisin,k3z8cosisin33解：，

k0,1,2.

z01i3,z12,z21i3

7、将

zt2it2 （t为实参数）表示的曲线用一个实直角坐标方程表出。

2xty1t2，则xy1(x0,y0) 解：22axybxcyd0，8、试用复数表示圆的方程其中a,b,c,d是常数(如果a0,b及c不全为0,这是

直线方程)

zzzz,y22i 代入方程中有

解 令zxyi,则有 xyzz

22xazzzzd0 其中

1bci2

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9、设

fz1zz2izzz0 试证明当z0时, fz的极限不存在.

2rcos2irsin证明： 设zrcosisin, 则

fz0,当0，即zlimz0fz沿着正实轴0时1，当4即沿直线yx在第一象0时

所以当z0时, fz的极限不存在. 2ir2sin2

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