中立型Emden-Fowler微分方程的振动性

数学物理学报　２０１７，３７Ａ（６）：１０６２—１０６９　ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ　中立型Ｅｍｄｅｎ．Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性　，。李文娟　，。汤获　。俞元洪　（　赤峰学院数学与统计学院　内蒙古赤峰０２４０００；。赤峰学院应用数学研究所　内蒙古赤峰０２４０００　。中国科学学院数学与系统科学研究院　北京１００１９０）　摘要：该文主要研究了二阶中立型Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ微分方程　（ｒ（ｔ）１　（ｔ）ｉ　一　（ｔ））　＋ｐ（ｔ）ｌｚ　（　）ｌ　一　（ｔ）＋ｇ（　）１ｚ（　（￡））１　一　ｚ（　（ｔ））＝０　的振动性，其中ｚ（ｔ）＝ｘ（ｔ）＋９（ｔ）ｚ（７＿（ｔ））．利用广义Ｒｉｃｃａｔｉ变换和积分平均技巧建立新的振　动准则，推广和改进了一些文献中的结果．　关键词：Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ方程；中立型微分方程；振动性．　ＭＲ（２０１０）主题分类：３４Ｃ１０；３４Ｃ１５　中图分类号：Ｏ１７５．２７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２０１７）０６—１０６２—０８　１　引言　本文考虑中立型Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ微分方程　（ｒ（　）１　（￡）ｌａ－－ｉｚ　（　））　＋ｐ（　）ｊ名　（￡）ｌｏ￣－１ｚ　（　）＋ｇ（　）Ｉｚ（　（ｔ））ｆ　～　（　（　））＝０，　（Ｅ）　其中ｚ（ｔ）：ｘ（ｔ）＋９（　）　（７－（ｔ）），ｒ（ｔ）∈Ｃ　（［ｔｏ，。。），　），ｐ（　），ｑ（ｔ）∈ｃ（［ｔ０，ｏｏ），　），　和　是两个常　数，并且满足如下条件　（口１）　＞０，　＞０；　（Ｈ２）０　ｇ（ｔ）　１，ｐ＠）　０，ｑ（ｔ）　０；　（风）ｒ（ｔ）＞０，ｒｔ（　）＞０，Ｒ（ｔ）：．　ｒ一吉（ｓ）ｄｓ；　（月＿４）ｒ（　）∈Ｃ　（［ｔｏ，。。），　），７＿（　）　ｔ，．１ａｒｉ　Ｔ（ｔ）＝。。，　（ｔ）∈Ｃ　（［ｔｏ，。。），　），　（　）＞０，　盯（　）　ｔ，　（　）＞０，．１ｉｍ　（　）＝。。．　设Ｔｘ＝ｍｉｎ｛Ｔ（Ｔ），　（　）），Ｔ　ｔｏ．我们称ｘ（ｔ）为方程（Ｅ）的一个解，是指函数ｘ（ｔ）∈　ｃ　（［　，。。），　）使得ｒ（　）ｆｚ　）ｌ一　Ｚ／（　）∈Ｃ　（［　，∞），　）且在［　，。。）上满足方程（Ｅ）．本文仅　考虑方程（Ｅ）的非平凡解，即方程（Ｅ）在　，。。）上的解满足ｓｕｐ｛Ｉｘ（ｔ）ｌ：ｔ　Ｔ）＞０对一　收稿日期：２０１６—０６—２２；修订日期；２０１７—０２—０３　Ｅ．ｍａｉｌ：ｌｉｗｅｎｊｕａｎ１９８２１０１５＠１６３．ｃｏｒｎ　基金项目：国家自然科学基金（１１５６１００１）、内蒙古自然科学基金（２０１４ＭＳ０１０１，２０１７ＭＳ０１１３）和内蒙古高等学　校科研基金（ＮＪＺＹ１７３Ｏ１）　Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ＮＳＦＣ（１１５６１００１），ｔｈｅ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　（２０１４ＭＳ０１Ｏ１，２０１７ＭＳ０１１３）ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ（ＮＪＺＹ１７３０１）　Ｎｏ．６　李文娟等：中立型Ｅｍｄｅｎ．Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性　１０６３　切Ｔ　成立．方程（Ｅ）的解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则，称它为非振动　的．方程（Ｅ）的一切解均振动，则称方程（Ｅ）为振动的．　近年来，中立型Ｅｍｄｅｎ．Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性理论及其应用受到很大的关注，出现　了大量的研究成果（参见文献［１－１０］）．下面是几个重要的特例．文献［２］考虑的微分方程　（ｒ（　）　））　＋ｑ（ｔ）ｘ（ｔ）＝０　文献ｆ３Ｊ考虑的二阶时滞微分方程　（ｘ（ｔ）＋ｐ（ｔ）ｘ（ｔ一７＿））　＋ｑ（ｔ）ｘ（ｔ一　）＝０．　（１．２）　文献［４】考虑的二阶时滞微分方程　（ｒ（￡）ｌ　（ｔ）ｌ　一　（　））　＋ｑ＠）Ｉ　（　（　））Ｉ卢一　（　（　））＝０．　（１．３）　１　ｄ　。。，　一　则方程（１．１）振动．　定理Ｂ【３］设０　ｐ（ｔ）　１，ｑ（ｔ）　０，且　，Ｃ，Ｏ　／　ｇ（ｓ）［１一ｐ（ｓ一　）］ｄｓ＝。。，　Ｉ，ｔｏ　则方程（１．２）振动．　文献［１】和［４］利用Ｒｉｃｃａｔｉ方法和积分平均技巧建立方程（１．３）新的振动准则，推广和　改进了一些文献中的结果．本文研究的方程（Ｅ）形式上更为广泛，所得结果将推广和改进已　有文献的结果．　令　（　）＝ｏｘｐ（ｆ：ｏ　＿ｐｉ　￣　ｄ　）．用　（　）乘以方程（Ｅ）的两端，则（　）变为　（　＠）ｒ＠）ｆ　）ｆｏ￣－１ｚ　＠））　＋　＠）ｇ＠）Ｉ　（盯＠））Ｉ　一　（　＠））＝０，ｔ≥ｔ０　令Ｒ（ｔ）＝　（￡）ｒ（ｔ），Ｑ（ｔ）＝　（ｔ）ｑ（　），可得　（Ｒ（ｔ）Ｊｚ　（　）ｌ　一　ｚ　（ｔ））　＋Ｑ（ｔ）Ｉ　（　（￡））Ｊ卢～　（仃（　））＝０，ｔ　ｔ０　－ＶｉＮＣｔＮ种情况讨论方程（Ｅ）的解的振动性，即　（　）上ｄｔ＝∞，　（　）　（南）吉　。。．　（　）　１０６４　数学物理学报　、，ｏ１．３７Ａ　２主要结果及证明　引理１设ｘ（ｔ）是方程（Ｅ）的最终正解且条件（　１）成立，则ｚ　）＞０．　证因为ｘ（ｔ）是方程（Ｅ）在【ｔｏ，。。）上的最终正解，则存在ｔ１　ｔ０，使得当ｔ　ｔ１时有　ｘ（ｔ）＞０，　（７－（　））＞０，　（　（　））＞０．由方程（Ｅ）和（　），我们得到　ｚ（ｔ）　ｘ（ｔ）＞０，（　（　）ｒ（　）Ｉ　＠）ｌｃ￣－１　＠））　０，ｔ　ｔ１　（２．１）　因此　（￡）ｒ（￡）１　）Ｉ一　）是非增函数且　）最终保号，于是　）仅有两种可能．　我们断　言Ｚ／（　）＞０，ｔ　２　ｔ１．否则，假设　）＜０，ｔ　ｔ１，由（２．１）式知，存在常数ｈ使得　一Ｒ（　）（一Ｚ　（　））　一Ｒ（　１）（一　（￡１））　＝一ｈ＜０，ｔ　ｔｌ，　即　（　）　一　吉（Ｒ（　））一　１，ｔ　ｔ１．　从ｔ１到ｔ积分上式，我们得到　）　一　吉　Ｒ　（ｓ）ｄｓｊ￡　．　（２．２）　上式中令ｔ一。。，由条件（ｃ１）得ｚ（￡）一一∞．此式与（２．１）式矛盾，故假设不成立．　Ｉ　引理２设ｘ（ｔ）是方程（Ｅ）的最终正解且条件（　１）成立，令　）＝　则有不等式　）＋　半㈤＜０１　ｔ　（２．３）　其中　＝ｍｉｎ｛ｏＬ，　），０＜ｍ　１，Ｏ（ｔ）＝Ｑ（　）【１—９（　（　））］　．　证因为　（　）是方程（Ｅ）在［ｔｏ，。。）上的最终正解，则存在Ｔ　ｔｏ使得当ｔ　Ｔ时，有　ｘ（ｔ）＞０，　（７．（　））＞０，　（　（ｔ））＞０．由引理１知ｚ　）＞０．方程（Ｅ）变为等价方程　（Ｒ（￡）（　））。）　＋Ｑ（ｔ）ｘ卢（　（　））＝０，ｔ　Ｔ．　（Ｅｏ）　由于ｚ（ｔ）＝ｘ（ｔ）＋ｇ（　）　（丁（　））　故由（Ｅｏ）可得　（Ｒ（　）（ｚ　（　））“）　＋Ｑ（　）　（　（　））一９（　（　））　（丁（　（ｔ）））】　＝０．　注意到（２．１）式，上式变为　（Ｒ＠）（　＠））　）　＋Ｑ（ｔ）ｚＺ（ａ（ｔ））　ｏ，ｔ　Ｔ，　（　）　其中　（　）＝Ｑ（　）［１一夕（　（　））　由（　）和Ｗ（ｔ）的定义可知　（　）　一虿（　）一Ｒ（　）（ｚ　（ｔ））。　，　．　（２．４）　当ＯＬ　时，由方程（Ｅｏ），我们得到Ｒ（　）（　））　为减函数，即　Ｒ（　）（ｚ　））　Ｒ（ｃｒ（　））（　（ｔ）））　，　Ｎｏ．６　也即　李文娟等：中立型Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性　１０６５　㈤）　（　由上式和（２．４）式，可得　）丢　．　（　，　州　一　一　）吉　其中ｍ　：ｍｉｎ｛ｚ　ｉｆ￣－ｃ￣（　（　）），１）．又　譬（　（ｔ））　（盯（　））　ｍ　，故有　ａ＋ｌ㈤．　（２．５）　当　＞　时，由方程（　），我们得到　（Ｒ（ｔ）（　））　）　＝（　（ｔ）ｒ（ｔ）（　））　）　０，　尽｜Ｊ　）ｒ＠）（　））　＋　（￡）ｒ　）（ｚ　））　＋　）ｒ（￡）（ｚ　））　一　＠）　０．　而由上式可得　）　０．易得　）　（　（　））和（　））卜号　（　（　））卜号　ｍ　，其中　ｍ　＝ｍｉｎ｛（ｚ　））　一号，１）．再由上式和（２．４）式，可得　㈤一　一　蒜　Ｒ　百ｆ亡１　㈤，　　。㈤　．＿（　综上所述，有　）．　（２．６）　＿．（　其中ｍ＝ｍｉｎ｛ｍ　，ｍ　），　＝ｍｉｎ｛ａ，　）．证毕．　Ａ丁＋Ｉ㈤，ｔ　Ｉ　定理１设（Ｈｉ－（Ｈａ）和条件（Ｃ１）成立，存在ｐ（ｔ）∈Ｃ　（［ｔｏ，。。），　＋）使得条件　卜　。。　ｃ　成立，其中入：ｍｉｎ｛ａ，　｝，０＜？Ｔｔ　ｌ，　（￡）：Ｑ（ｔ）［１一ｇ（盯（ｔ））　则方程（Ｅ）振动．　证设ｘ（ｔ）是方程（Ｅ）的非振动解．不失一般性，设ｘ（ｔ）为【ｔｏ，。。）上的最终正解　（ｘ（ｔ）＜０的情况类似的分析成立），则由引理２，有　）＋　）＜０，　（２．７）　１０６６　数学物理学报　Ｖｒ０ｊ．３７Ａ　上式两边同时乘以ｐ（￡）并从　到ｔ积分，可得　）　（ｓ）ｄｓ＜＿ｉｔ　）　）（１ｓ一　）　ｐ（Ｔ）Ｗ（Ｔ）一ｐ（ｔ）　（ｔ）　＋（ｓ）ｄｓ　肌（ｓ）　㈦　和（２．８）式，可得　）　㈤）Ａ十　，　．　８）　ｄｓ　由不等式Ｂｕ～　ｄｓ％ｐ（　（　则　卜　］ｄｓ＜。。．　上式与条件（　）矛盾，故ｚ（　）是方程（Ｅ）的振动解．证毕．　推论１当ｐ（ｔ）＝０时，方程（Ｅ）可化为Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ型微分方程　（ｒ（　））　（　）『。一　（　））　＋ｇ（　）『　（　（　））ｌ　一　（　（　））＝０　此时，方程的振动条件（Ｃ２）变为　一　。。，　其中Ａ：ｍｉｎ｛ｃ￣，　），０＜ｍ　１，Ｑ（ｔ）：ｑ（ｔ）［１—９（仃（ｔ））］　．　注１文献［４】中的定理２．１和定理３．１是我们定理１的特例．推论１也包含且统一了　文献［４］中的定理２．１和定理３．１的结果．推论１推广并改进了文献…中定理２。１的结果．　文献【１］中的定理２．１仅得到当　＞０时方程的解振动或渐近趋向于零的结果，而我们　得到对任意ＯＬ＞０，　＞０时方程的一切解振动的条件．　推论２当ｐ（ｔ）：１时，方程的振动条件（　）变为　。。，　其中　（　）＝０（０１１—　（　（　））　注２推论２推广了文献［２］中的定理Ａ和文献［３】中的定理Ｂ．定理１推广、改进并统　了著名的Ｌｅｉｇｈｔｏｎ振动准则和Ｇｒａｍｍａｔｉｋｏｐｏｕｌｏｓ振动准则．　定理２设（Ｈ１）一（凰）和条件（Ｃ１）成立，且　一ｉｍｉｎｒ丽１　。。　…，　ｃ　其中Ｑｌ（　）＝　Ｑ（ｓ）ｄｓ，Ａ＝ｍｉｎ｛￣，　｝，０＜ｍ　１，则方程（Ｅ）振动．　Ｎｏ．６　李文娟等：中立型Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性　１０６７　证设　（　）是方程（Ｅ）的非振动解．不失一般性，设ｚ（　）为［　０，。。）上的最终正解　（　（ｔ）＜０的情况类似的分析成立）．令　哪　＝　，　）＋　从ｔ到。。积分上式，可得　半㈤＜０．ｔ　）．ｍ（ｔ）＋　Ｑ（）ｄｓ＋厂。。　（。。）一）＋／　ｓ＋／　Ｊ　ｔ　Ｊｔ　』　Ｉ　Ｊ　（ｓ）ｃｌｓ　０，ｔ（　，　　Ｔ．　．　由卜式．得　哪）　ｓ＋　。。　ＡＴＪ－Ｉ（＿　ｓ）．　（２．９）　令Ｑｌ（ｔ）＝　Ｑ（ｓ）ｄｓ，则上式两边同时除以Ｑｌ（ｔ），可得　丽１　。。　今　ｉｎｆ　：　［　］　ａｓ－　．　．　（２．１０）　由条件（　），可得　ｉ…ｍｉｎｒ丽１　。。　，　则由（２．１０）式，得　（　＞１＋（　．　即　一　与｝　＞１０＞ｌ－　．　又根据不等式　ＢＡ＋ＩＢｕ一　ｕ　，　＞。，Ｂ　。　司得　－ａ¨－６＜　＝ｌｊ　这与　一　＞１矛盾．假设不成立．证毕．　Ｉ　注３文献［１］中的定理２和文献［４］中的定理３．２是我们定理２的特例．它们分别得　到当　＞０和０＜　时方程的解振动或渐近趋向于零的结果，而我们得到对任意　＞０，　＞０时方程的一切解振动的条件．　１０６８　数学物理学报　Ｖ０１．３７Ａ　定理３设（研）一（　）和条件（　）成立，丁　）＞０，９　）　０且存在如同定理１中　ｐ（ｔ）∈Ｃ　（　。。），　＋）使得条件（ｃ２）成立，还存在正数Ｍ及函数　（　）∈ｃｌ（［ｔｏ，。。），　＋）满　足　）　０，使得　ｒ。。ｒ　１　ｆｔ　１吉　ｌ　成立，则方程（Ｅ）振动或　（　）＝０．　（ｓ）Ｑ（ｓ　叫　。。　（　）　证设ｘ（ｔ）是方程（Ｅ）的非振动解．不失一般性，设　（　）为【ｔ。，。。）上的最终正解　（ｘ（ｔ）＜０的情况类似的分析成立），则ｚ（ｔ）＞０．由（２．１）式知，ｚ　）最终保号且仅有两种可　能．　情况１　）＞０．我们又回到定理ｌ的情况．由定理１的证明得出矛盾知方程（Ｅ）在　［ｔｏ，。。）上无最终正解．　情况２　）＜０．因为７－　）＞０，９　）　０，　）＝　）＋ｇ　）　（７＿（　））＋　（　）　（７＿（ｔ））丁　）＜　０，所以Ｘｔ（　）＜０．又ｚ（ｔ）＞０，　）＜０，故有１ｉｍ　ｚ（ｔ）＝０　０．我们可判断ｎ：０．否则　．（　）：最＞０，即存在正数Ｍ使得　卢（　（　））＞Ｍ．由上式，可得　（Ｒ（ｔ）（一名　））　）　：Ｑ（ｔ）ｚ　（　（ｔ））　ＭＱ（ｔ）．　定义　（￡）：　（￡）兄（　）（一　））。，显然有ｖ（ｔ）　０，　Ｖ　（￡）＝咖　（　）Ｒ（　）（一　（　））　＋咖（￡）（Ｒ（　）（一　（≠））　）　从Ｔ到ｔ积分（２．１１）式，可得　（　）　Ｑ（　）．　）　即　）＋Ｍ　）Ｑ（ｓ）ｄｓ　Ｍ　）Ｑ（ｓ）ｄｓ＿　）　）（　㈤）　）Ｑ（ｓ）　／，　／，　由（２・１２）式，可得　２　１、Ｊ　２　１、Ｊ　ｌ　２　）　Ｍ吉（　从Ｔ到ｔ积分上式，可得　）Ｑ（８）ｄｓ）　．　ｃ　Ｍ去　［　ｃ—＋。。　。卜　Ｃ——　）。　由上式可得条件（　）与　（ｔ）＞０矛盾．故有ｌｉｍ　（ｔ）＝０和．１ｉｍ　ｚ（　）＝０．证毕．　推论３在定理３中取ｐ（ｔ）＝１时，方程的振动条件（　）变为　ｔ一　其中　（ｔ）＝Ｑ（￡）ｆ１—９（　（ｔ））　取　（ｔ）＝１时，方程的振动条件（　）变为　［　删ｓ卜。。．　注４文献【１］中的定理３和文献【４】中的定理２．３是我们定理３的特例．但本文定理３　中的ｐ（ｔ），　（ｔ）可以不取１．　Ｎｏ．６　李文娟等：中立型Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ微分方程的振动性　１０６９　参考文献　［１］Ｌｉｕ　Ｈ　Ｄ，Ｍｅｎｇ　Ｆ　Ｗ，Ｌｉｕ　Ｐ　Ｃ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ａ　ｎｅｗ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２０１２，２１９：２７３９－２７４８　ｆ２１　Ｌｅｉｇｈｔｏｎ　Ｗ．Ｔｈｅ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．　Ｄｕｋｅ　Ｍａｔｈ　Ｊ　１９５０．１７：５７—６２　ｆ３］Ｇｒａｍｍａｔｉｋｏｐｏｕｌｏｓ　Ｍ　Ｋ，Ｌａｄａｓ　Ｇ，Ｍｅｉｍａｒｉｄｏｕ　Ａ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｒａｄ　Ｍａｔｈ．１９８５．１：２６７　７４　ｆ４１曾云辉，罗李平，俞元洪．中立型Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ时滞微分方程的振动性．数学物理学报，２０１５，３５Ａ（４）：８０３—８１４　Ｚｅｎｇ　Ｙ　Ｈ．Ｌｏｕ　Ｌ　Ｐ．Ｙｕ　Ｙ　Ｈ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｅｍｄｅｎ—Ｆ０ｗｌｅｒ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｔｙｐｅ．　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｓｃｉｅｎｔｉａ　２０１５、３５Ａ（４）：８０３＿＿８１４　ｆ５１　Ｅｒｂｅ　Ｌ，Ｈａｓｓａｎ　Ｔ　Ｓ，Ｐｅｔｅｒｓｏｎ　Ａ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ．ｏｒｄｅｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｄｖ　Ｄｙｎａｍ　Ｓｙｓｔ　Ａｐｐｌ，２００８，３（１）：５３－７１　ｆ６１　Ｘｕ　Ｒ，Ｍｅｎｇ　Ｆ　Ｗ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｑｕａｓｉ．１ｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００７，１９２：２１６－２２２　ｆ７］Ｂｏｈｎｅｒ　Ｍ，Ｓａｋｅｒ　Ｓ　Ｈ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄａｍｐｅｄ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｅｍｄｅｎ　Ｆｏｗｌｅｒ　ｔｙｐｅ．Ａｄｖ　Ｄｙｎａｍ　Ｓｙｓｔ　Ａｐｐｌ，２００６，１（２）：１６３～１８２　『８１　Ｔａｋａｓｉ　Ｋ，Ｙｏｓｈｉｄａ　Ｎ．Ｎｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｑｕａｓｉｌｉｅａｒ　ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ．　Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐ１．１９９５。１８９：１１５－１２７　ｆ９１　Ｘｕ　Ｒ，Ｍｅｎｇ　Ｆ　Ｗ．Ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｑｕａｓｉ—ｌｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｅｌａｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００６，１８２：７９７－８０３　１０｝Ｌｉ　Ｔ　Ｘ，Ｈａｎ　Ｚ　Ｌ，Ｚｈａｎｇ　Ｃ　Ｈ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　Ｅｍｄｅｎ．Ｆｂｗｌｅｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａ－　ｔｉｏｎｓ．Ｊ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ．２０１１．３７：６０１－６１Ｏ　Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｎｅｕｔｒａｌ　Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　～　Ｌｉ　Ｗｅｎｊｕａｎ　－　Ｔａｎｇ　Ｈｕｏ。Ｙｕ　Ｙｕａｎｈｏｎｇ　（　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　０２４０００　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　０２４０００；　。Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００１９０）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｗｏｒｋ，ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｉｌｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｕｔｒａｌ　Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　（ｒ（ｔ）ｌｚ　）ｌａ－１　））　＋Ｐ（ｔ）ｌｚ　）｝一　）＋ｑ（ｔ）ｌｘ（ａ（ｔ））ｆ一　（　（　））＝０　ｗｈｅｒｅ　ｚ（ｔ）＝ｘ（ｔ）＋９（ｔ）　（７－（ｔ））．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｒｉｃｃａｔｉ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｔｅ—　ｇｒａｌ　ａｖｅｒａｇｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ．Ｔｈｅｓｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｅｘｔｅｎｄ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｓｏｍｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ．　ＭＲ（２０１０）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：３４Ｃ１０；３４Ｃ１５