(公开课)万有引力复习教案

万有引力定律复习课

复习要求:：

1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念

3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能 易错点：对卫星的轨道半径处理,对第一宇宙速度的理解,对同步卫星的规律理解,向心加速度和重力加速度的区别和对公式的变换是本节易错点.

一、万有引力定律：

FGm1m2 2r(1)适用条件:适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）G6.6710(2)力的性质:一对作用力和反作用力

（3）万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

（4）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：两种思路

一是天体在空间轨道上运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即天上一条龙，

11Nm2/kg2

Mmv242G2m2＝m2rm2r=ma rrT卫星的几个参数线速度角速度周期和角速度与半径的关系:三反一同

Mmv2GM1）由G2m可得：v r越大，v越小。

rrr2）由GMm2mr可得：GM3 r越大，ω越小。 2rr2Mm233）由G2mr可得：T2rGM r越大，T越大。

rT4）由GMmGMmaa可得： r越大，a向越小。 向向22rr

二是地球对地面上或地面附近物体的万有引力近似等于物体的重力，即地上黄金虫 G

mM ＝mg R2例．a、b、c、三颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上，c是地球同步卫星，写出a、b、c三颗卫星的运行速度的大小关系?

1

学生：可能错误答案 1 Va>Vb>Vc 2 Va=Vb>Vc

可能正确答案，Vb>Vc>Va 追问为什么Va？

总结从而确定两种思路的用法

近地卫星速率Vb=7.9km/h同步卫星Vc=3.1km/h 赤道上物体的线速度Va=465m/s现在已经地球的半径r=00km，要求同学们估算下地面上和地球一起自转物体的向心加速度a？

22a=r=r赤道上a向最大。a向=0.034 m/s2，远小于重力加速度，故地面上随地

T球自转的物体向心力可以忽略。

地面上物体的重力由万有引力提供，二者几乎相等，地面上的物体的向心力不等于引力，要远小于引力。

3.两个易错:

2(1)不考虑自转问题时,有=mg,其中g为星球表面的重力加速度,若考虑自转问题,则

在两极上才有=mg0，赤道上=mg+F向

(2)利用G量。

=mr计算天体质量时,只能计算中心天体的质量,不能计算绕行天体的质

考点一、 测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

提问：已知引力常量G，至少还需要知道几个物理量才能求出中心天体的质量？ 请两三学生回答，直至把所有的关系的理清，这时教师在总结 1、卫星或行星的运行半径r和运行周期T 2、卫星或行星的运行半径r和运行速率V 3、卫星或行星的运行半径r和运行角速度w 4、卫星或行星的运行速率v和运行角速度w 5、中心天体的半径R和重力加速度g

追问求中心天体的密度还需要什么物理量？ 学生答：中心天体的半径

例1(多选)(2016海南单科)通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动,除了引力常量外,至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( ) A.卫星的速度和角速度 B.卫星的质量和轨道半径 C.卫星的质量和角速度

D.卫星的运行周期和轨道半径

2

解析：根据线速度和角速度可以求出半径r=,根据万有引力提供向心力则有=m,整理

可得M=,故选项A正确;由于卫星的质量m可约掉,故选项B、C错误;若知道卫星的运行

周期和轨道半径,则

=m()2r,整理得M=,故选项D正确。

例2(2016河北石家庄模拟)由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同:若地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G,地球可视为质量均匀分布的球体。

求:(1)地球半径R。（2）地球的平均密度

解析:(1)在地球表面两极F万=mg0 在赤道处,由牛顿第二定律可得

F万-mg=m()2R

可得R=

(2)在地球表面两极=mg0

由密度公式可得ρ=

解得ρ=

规律方法

天体质量及密度的估算方法

1.例1要求天体的质量,天体质量的估算一般有下列两种情况

(1)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期,由 G=m()2r得M=。

(2)已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量,由mg=G得M=。

2.例2中涉及天体密度的估算,天体密度的估算一般是在质量估算的基础上利用

M=ρ·πR3进行计算,同时注意R与r的区别。

3

考点二卫星的定轨和变轨问题 例3(多选)(2016江苏单科)如图所示,两质球做匀速圆周运动,用R、T、Ek、S分别表示动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。

A.TA>TB B.EkA>EkB C.SA=SB

量相等的卫星A、B绕地卫星的轨道半径、周期、下列关系式正确的有( )

D.

解析：据万有引力提供向心力=mr可得T∝,因rA>rB,所以TA>TB,选项A正确;由

=m得v∝,rA>rB,故vA错误;根据S=和T=解得S=,由此知r越大S越大,SA>SB,选项C错误;根据

开普勒第三定律知=C,即,选项D正确

例4(多选)(2016广东揭阳模拟)已知地球自转周期为T0,有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星,自西向东绕地球运行,其运行半径为同步轨道半径的四分之一,该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

解析：设地球的质量为M,卫星的质量为m,运动周期为T,因为卫星做圆周运动的向心力由万

有引力提供,有 ,解得T=2π。同步卫星的周期与地球自转周期相同,即为

T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一,所以该人造卫星与同步卫

星的周期之比是,解得T=T0。设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方

出现一次,根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得t=2nπ+t,解得t=,当

n=1时t=,n=3时t=,故A、B错误,C、D正确。

例5(多选)(2016山东济南统考)2016年4月24日为首个“中国航天日”,中国航天事业取

4

得了举世瞩目的成绩,我国于2016年1月启动了火星探测计划。假设将来人类登上了火星,航天员考察完毕后,乘坐宇宙飞船离开火星时,经历了如图所示的变轨过程,则有关这艘飞船的下列说法,正确的是( )

A.飞船在轨道Ⅰ上运动到P点的速度小于在轨道Ⅱ上运动到P点的速度

B.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同

C.飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度

D.飞船在轨道Ⅱ上运动时,经过P点时的速度大于经过Q点时的速度

解析：从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要加速,飞船在P点做离心运动,所以A正确。由于火星和地球的

质量以及半径均不相同,故周期不同,B错误。根据公式G=ma可得G=a,半径越大,向心

加速度越小,两次情况下经过P点时的半径相同,所以加速度相同,故C错误。根据公式

G=m可得v=

,轨道半径越大,线速度越小,故D正确。

规律方法

1.例3和例4涉及定轨卫星的运动,解答定轨卫星问题要注意下列三个关键点

(1)根据G等公式。

=F向=m=mrω2=mr=ma,推导、记忆v=、ω=、T=、a=

(2)灵活应用同步卫星的特点,注意同步卫星与地球赤道上物体的区别和联系。 2.例5是涉及变轨卫星问题,分析卫星变轨应注意下列三个问题

(1)卫星变轨时速度的变化由离心运动和近心运动应满足的条件判断,卫星在不同圆形轨

道上的物理量大小关系由=ma=m=mω2r=mr来分析。卫星经过不同轨道相交的同一

点时加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度。如例5A、B、D选项。

(2)卫星在椭圆轨道上某点的加速度关系应用a=考点三双星和多星问题

比较,而不可使用a=比较,如C选项。

例6(2016东北联考)两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )

A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大

5

C.两个天体的向心力大小相等 D.若在圆心处放一个质点,它受到

解析：双星系统,它们以二者连线上的质心为圆心做匀速圆周运动,质量大的天体距离质心(圆周运动的圆心)近,即运动的轨道半径r小。二者做匀速圆周运动的角速度ω相等,由v=ωr可知,质量大的天体线速度较小,选项A、B错误。二者绕质心做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项C正确。双星系统以二者连线上的质心为圆心做匀速圆周运动,双星系统的质心位置与双星质量的关系是m1r1=m2r2。若在圆心

处放一个质点m,m1对它的万有引力为F1=G,m1对它的万有引力为F2=G=G,

显然,F2≠F1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项D错误。

例7 2016年2月11日，LIGO科学合作组织宣布他们利用高级LIGO探测器，首次探测到了来自宇宙中双黑洞合并所产生的引力波信号，现把双星黑洞看成一个双星系统，由黑洞A、B组成，测得双黑洞的运行周期是为T，黑洞A、B间的距离为L、黑洞A、B的运行轨道半径之差为ΔL，黑洞自身的的大小与黑洞的距离相比可忽略不计，已知引力常量G。求

1、黑洞A、B的轨道半径之比？ 2、黑洞A、B的线速度之比？ 3、黑洞A、B的总质量？ 4、黑洞A、B的质量差？

解析：设两星质量分别为M1和M2，星球A和星球B到圆心的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得

G

M1M2R242R2l122

＝M1（） l1 ∴M2＝

2TGTM1M2R2对M2：G

42R2l222

＝M2（） l2 ∴M1＝

2TGT42R242L3两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝。 22GTGT42L2L 同理M1-M2＝（l1-l2）＝22GTGT例8由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式,三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动(如图所示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:

(1)A星体所受合力大小FA。 (2)B星体所受合力大小FB。 (3)C星体的轨道半径RC。

42R2

6

(4)三星体做圆周运动的周期T。

解析:(1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为FBA=G=G=FCA,

方向如图所示,则合力大小为FA=2。

(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB=G=G,

FCB=G=G,方向如图所示。

由FBx=FABcos 60°+FCB=2G,FBy=FABsin 60°=,可

得FB=。

(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,则 RC=,可得RC=a。

(或由对称性可知OB=OC=RC,cos∠OBD=,得RC=a)

(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=

规律方法

=m()2RC,可得T=π。

1.双星系统由两颗相距较近的星体组成,由于彼此的万有引力作用而绕连线上的某点做匀速圆周运动(简称“二人转”模型)。双星系统中两星体绕同一个圆心做圆周运动,周期、角速度相等;向心力由彼此的万有引力提供,大小相等。如例6,两星做匀速圆周运动时,其角速度和向心力大小均相同。而由m1ω2r1=m2ω2r2可知,两星轨道半径又与两星质量成反比。

2.三星系统由三颗相距较近的星体组成,其运动模型有两种:一种是三颗星体在一条直线上,两颗星体围绕中间的星体做圆周运动;另一种是三颗星体组成一个三角形,例如例7。最常见的“三角形”模型中,三星结构稳定,如果三星质量相等,角速度相同,半径相同,任一颗星的向心力均由另两颗星对它的万有引力的合力提供。

7