分式方程的增根与无解详解(最新整理)

 分式方程的增根与无解讲解 例1 解方程24x3． ①2x2x4x2解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程x13x2．x22x解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．x3m=无解，则m=——————．x22xx3m解：原方程可化为=－．x2x2例3（2007湖北荆门）若方程方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．2ax3例4当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？x2x24x2解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：2ax3当a为何值时，关于x的方程①无解？x2x24x2此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②1若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．例5：（2005扬州中考题） 若方程m6-=1有增根，则它的增根是（ ）(x1)(x1)x1 A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得： m(x+1)=7-x2 当x= -1时,此时m 无解； 当x=1时,解得m=3。 由此可得答案为B。例6：关于x的方程xm-2=有一个正数解，求m的取值范围。x3x3分析：把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值范围，但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：x-2 (x-3)=m整理得：x=6-m∵原方程有解，故6-m不是增根。∴6-m≠3 即m≠3∵x＞0∴m＜6由此可得答案为m的取值范围是m＜6且m≠3。一、分式方程有增根，求参数值2x24xa例7 a为何值时，关于x的方程=0有增根？x3解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3x24xa所以a=3时，=0有增根。x32m2m1例8 m为何值时，关于x的方程x1+x2=x23x2有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（※）3因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※），解得m=-2；把x=2代入（※）得m=-23所以m=-2或-2时，原分式方程有增根2k点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程x1+1=(x1)(x2)有增根，可求得k=-823，但分式方程这时有一实根x=3。二、分式方程是无实数解，求参数值x2m例9 若关于x的方程x5=x5+2无实数，求m的值。 解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8 因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。 又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5 所以m=3例10．若解分式方程 A. 1或2 C. 1或22xm1x1产生增根，则m的值是（ ）x1xxxB. 1或2D. 1或2 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x0或x1，化简原方程为：2x(m1)(x1)，把x0或x1代入解得m1或2，故选择D。22 例11. m为何值时，关于x的方程22mx3会产生增根？x2x4x2 解：方程两边都乘以x4，得2x4mx3x63 整理，得(m1)x1010m1如果方程产生增根，那么x240，即x2或x2当m1时，x 102m4m110（2）若x2，则2m6m1（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根（1）若x2，则 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 例12、 解方程：12x1032x3424x2316x194x38x98x74x5 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。12214344x38x98x74x52222 即8x98x68x108x7 解：由原方程得：3于是 11，(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)所以(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)解得：x1经检验：x1是原方程的根。例13、若解分式方程 A. 1或2 C. 1或22xm1x1产生增根，则m的值是（ ）x1xxxB. 1或2D. 1或2 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x0或x1，化简原方程为：2x(m1)(x1)，把x0或x1代入解得m1或2，故选择D。22练习题1 解方程24x3． 2x2x4x242 解方程x13x2．x22x3（2007湖北荆门）若方程x3m=无解，则m=——————．x22x2ax34当a为何值时，关于x的方程会产生增根？x2x24x22ax35当a为何值时，关于x的方程无解？2x2x4x25