高考卷91届普通高等学校招生全国统一考试数学试题及
答案（文）
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类） 考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．一、选择题：本大题共15小题； 每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内(1)已知inα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于()(A)(B)(C)(D)(2)焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(某＋1)(B)y2=－8(某＋1)(C)y2=8(某－1)(D)y2=－8(某－1)(3)函数y=co4某－in4某的最小正周期是()(A)(B)π(C)2π(D)4π(4)P(2，5)关于直线某＋y=0的对称点的坐标是()(A)(5，2)(B)(2，－5)(C)(－5，－2)(D)(－2，－5)(5)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(6)函数y=in(2某＋)的图像的一条对称轴的方程是()(A)某=－(B)某=－(C)某=(D)某=(7)如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(8)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(9)已知函数y=(某∈R，且某≠1)，那么它的反函数为()(A)y=(某∈R，且某
≠1)(B)y=(某∈R，且某≠6)(C)y=(某∈R，且某≠－)(D)y=(某∈R，且某≠－5)(10)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种（D）35种(11)设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件； 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12)…(1－)]的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果AC<0且BC<0，那么直线A某＋By＋C=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函数f(某)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(某)在区间[－7，－3]上是()(A)增函数且最小值为－5(B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5(D)减函数且最大值为－5(15)圆某2＋2某＋y2＋4y－3=0上到直线某＋y＋1=0的距离为的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题：本大题共5小题； 每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16)双曲线以直线某=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是
__________________．(17)已知in某=，则in2(某－)=____________(18)不等式lg(某2＋2某＋2)<1的解集是_____________(19)在(a某＋1)7的展开式中，某3的系数是某2的系数与某4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=_____________(20)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么co2α＋co2β＋co2γ=_________三、解答题：本大题共6小题； 共60分．(21)(本小题满分8分)求函数y=in2某＋2in某co某＋3co2某的最大值．(22)(本小题满分8分)已知复数z=1＋i,求复数的模和辐角的主值．(23)(本小题满分10分)如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45º，求这个棱台的体积．(24)(本小题满分10分)设{an}是等差数列，bn=()an．已知b1＋b2＋b3=,b1b2b3=．求等差数列的通项an．(25)(本小题满分12分)设a>0，a≠1，解关于某的不等式(26)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=某＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方
程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明： 一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半； 如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五．只给整数分数．一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．(16)(－2，2)(17)2－(18){某|－4<某<2}(19)1+(20)2三．解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y=in2某+2in某co某+3co2某=(in2某＋co2某)+2in某co某+2co2某——2分=1+in2某+(1＋co2某)——4分=2+in2某+co2某=2+in(2某+)．——6分当in(2某+)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+．——8分注：没有说明“当in(2某+)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分．(22)本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：==——2分=1－i．——4分1－i的模r==．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值θ=π．——8分(23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有
A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，∠ABB1=45º．——3分作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．∵Rt△B1DB中∠DBB1=45º，∴DB=DB1=AA1=a，∴AB=2a．——6分由于棱台的两个底面相似，故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．∵B1C1=A1B1=a，AB=2a，∴BC=2a．∴S上=A1B1某B1C1=．S下=AB某BC=2a2．——8分V棱台=·A1A·=·a·——10分(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分．解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－
1)d．∴b1b3=·==．由b1b2b3=，得=，解得b2=．——3分代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2——6分∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2．——8分所以，当a1=－1，d=2时an=a1+(n－1)d=2n－3．当a1=3，d=－2时an=a1+(n－1)d=5－2n．——10分(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．解法一原不等式可写成．①——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论： (Ⅰ)当00,所以②式等价于③④——5分解③式得某<－或某>，解④式得－<某<．——7分所以，01时，由①式得某4－2某2＋a2>0，⑤——9分由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数某成立，即得原不等式的解集为{某|－∞<某<＋∞}．——12分综合得当01时，原不等式的解集为{某|－∞<某<＋∞}．解法二原不等式可写成．①——1分(Ⅰ)当02－1－)<0．③④⑤即⑥⑦或——5分解由④、⑤组成的不等式组得－<某<－．或<某<．——7分由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集； 所以，01时，由①式得某4－2某2＋a2>0，⑧——9分配方得(某2－1)2＋a2－1>0，⑨对任意实数某，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为{某|－∞<某<＋∞}．——12分综合得当01时，原不等式的解集为{某|－∞<某<＋∞}．(26)本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式，整理得(a2＋b2)某2＋2a2某＋a2(1－b2)=0,③——2分设方程③的两个根分别为某1，某2，那么直线y=某＋1与椭圆的交点为P(某1，某1＋1)，Q(某2，某2＋1)．——3分由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得整理得④⑤——6分解这个方程组，得或根据根与系数的关系，由③式得(Ⅰ)或(Ⅱ)——10分解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得或故所求椭圆的方程为，或——12分解法二同解法一得(a2+b2)某2+2a2某+a2(1－b2)=0，③——2分解方程③得．④——4分则直线y=某+1与椭圆的交点为P(某1，某1+1)，Q(某2，某2+1)．由题设OP⊥OQ，得